в середине процесса иммиграции моей тёще пришлось поменять паспорт.
В новом паспорте местные российские власти немного изменили транскрипцию ее имя.
Как это может повлиять на процесс иммиграции?
Она находится на заключительном этапе сейчас?
Должны ли мы сообщить в иммиграционый центр?
Или она просто может представить новый паспорт, при получении визы?

По идее повлиять на процесс это никак не должно, но я бы на всякий случай написала в иммиграционный отдел и сообщила, что паспорт поменяли, новый номер паспорта такой-то и написание имени такое-то. Чтобы потом вдруг не было задержек из-за этого